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第3节 第三章

陈景润的哥德巴赫猜想之旅陈景润 (1933—1996),福建闽侯人,我国现代著名的数学家,在数论和哥德巴赫猜想研究方面取得了卓越的成就。世界级的数学大师阿·威特尔称赞他道: “陈景润的每一项工作,都好像在喜马拉雅山顶行走。”

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陈景润出生在一个工人家庭,父亲是一位邮政工人,陈景润在众多的兄弟姐妹中排行老三。1945年,陈景润随家迁居福州,并进了英华中学。陈景润从小性格内向,只知道啃书本,同学们给他起了一个绰号 “书呆子”。陈景润从小就对数学情有独钟,喜欢钻研,刚好这时候学校来了一位著名科学家沈元教授,他在一堂数学课中,讲了 17世纪德国数学家哥德巴赫提出的一个猜想。他还打了个形象的比喻,自然科学的皇后是数学,数学的皇冠是数论,而哥德巴赫猜想就是数学皇冠上的明珠。他的这堂课深深刻在陈景润的脑海里,他暗下决心,一定要摘取这颗 “数学皇冠上的明珠”。 copyright Banbijiang

1950年,陈景润高中尚未毕业,就以同等学力考入厦门大学。1953年,陈景润大学毕业后被分配到北京一所名牌中学任教。由于他不善言辞,个性也不适宜教书,压力很大,人也病倒了。当时该中学领导在一次会议上碰上来北京的厦门大学校长王亚南,向他抱怨陈景润不行。王亚南了解陈景润的个性和价值所在,于是把他调回厦门大学担任学校图书馆管理员。陈景润回到厦门大学,病也开始好转了。他利用这个有利的时机,如饥似渴地研读了华罗庚的 《堆垒素数论》 和 《数论导引》。他要努力研究,做出成绩来,才不辜负信任和爱护他的人。

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功夫不负苦心人,陈景润终于写出了第一篇数学论文 《关于塔利问题》,并把它寄到中科院数学所。他希望自己的数学才能能得到当时著名数学家华罗庚的认可,像当年华罗庚被熊庆来赏识一样。果然,华罗庚盛情邀请陈景润参加 1956年全国数学论文宣读大会。1956年底,华罗庚把他调到中国科学院数学研究所担任实习研究员。

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陈景润调到北京后,在华罗庚的栽培之下,迅速成长起来。 i6 N, A/ X5 @0 Z7 f7 x. T9 P4 C5 C( }7 H* y

他在圆内整点问题、球内整点问题、华林问题、三维除数问题等方面,都改进了中外数学家的结果,取得了最新的成就。但是他并不满足,他要完成青年时期的梦想,向哥德巴赫猜想挺进。陈景润当时居住在 6平方米的小屋内,借一盏昏暗的煤油灯,进行繁复的计算,条件十分艰苦。但是他浑然不顾,废寝忘食,昼夜不舍,潜心思考,达到了痴呆的地步。有一次一头撞在树上,还问是谁撞了他。1966年 5月,陈景润耗去了几麻袋的草稿纸,写成论文 《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》,攻克了世界著名数学难题 “哥德巴赫猜想” 中的 (1+2),创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠 (1+1)只有一步之遥的辉煌。可是论文太长了,厚达 200多页。考虑到科学的简明性,闵嗣鹤教授建议他简化一下。他又投入到更加艰巨的工作中去了。 2 Y+ \; c- P. g/ \6 [2 B' V5 ?. e; ]3 y

这时 “文革”开始,陈景润受到了一定程度的影响,但他并没有放弃。1973年,陈景润终于将论文简化完成。

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陈景润的工作轰动了世界,国际上的反响非常强烈。当时英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特的著作 《筛法》 正在印刷所校印,他们见到陈景润的论文后,立即要求暂不付印,并在这部书里加添了一章 “陈氏定理”。他们把它誉为筛法的 “光辉的顶点”。一个英国数学家在给陈景润的信里称赞他说:“你移动了群山!”

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陈景润分别在 1978年和 1982年两次收到在国际数学家大会作 45分钟报告的邀请。他本想在他有生之年内完成 (1+1),彻底摘取皇冠上的明珠。可惜的是,在他生命最后的 10多年中,帕金森综合症困扰他,使他长期卧病在床,最终未能实现夙愿。

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虽然小有遗憾,但是陈景润在数论和哥德巴赫猜想方面的研究上取得了举世瞩目的成就,他将永垂千古,流芳中国科学史。魅力永存的勾股定理有一个数学定理是每一个人在学校都要学习的。这个定理现在有一个名字,叫做毕达哥拉斯定理。但是远在毕达哥拉斯出生前,这一定理早已广为人知。这一定理的存在,使得我们可以比较在不同文化背景下,古代数学家处理数学问题的风格及他们所关注的问题。 本文来自半壁江图书频道

巴比伦数学最具魅力的文献之一,是现今保存在哥伦比亚大学的被命名为 《普林顿 322》的表。它含有 4列 15行数字,似乎是一个不完整的表,且很有可能是一张损坏的大表的一部分。人们普遍认为,这张表展现了部分毕达哥拉斯三元数组的推导过程。如此精密复杂的推导过程足以说明,早在公元前 1800—前1650年,巴比伦人就已经知道了毕达哥拉斯定理,这要比毕达哥拉斯早 1000多年。这一解释被另一张表所证实。这张表发现于巴比伦附近的同一地区,它现在是毕达哥拉斯定理最早的例子之一。巴比伦人使用了几何计算的法则来求代数方程的解。然而,这时的代数是用语言而不是用符号来表述的。有些人推测巴比伦人可能已经开始着手研究三角学。

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人们一般认为,印度的吠陀梵语文化始于公元前的第一个千年的初期。通过吠陀经 (印度最古的宗教文献和文学作品的总称)和奥义书 (印度教古代吠陀教义的思辨作品,为后世各派印度哲学所依据)这样的手稿,我们可以了解到印度文化和宗教是在这一时期确立的。同样,通过 《摩奴法典》可以了解到社会行为准则的确立。这一时期的数学记录在 《测绳的法则》 上,而《测绳的法则》 是 《吠陀经》 的附录的一部分。理所当然的,《测绳的法则》中的大部分数学内容,是为了确保符合宗教仪式准则的需要。术语 Sulba表示测量祭坛尺寸的绳索。我们找到了3个版本的手稿,最早的一个可能是写于公元前 800年—前 600年。波德海亚纳将毕达哥拉斯定理的一个特例明确地陈述为:

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“在一个正方形的对角线上拉紧的绳索为边做出的正方形,它的面积是原来正方形面积的两倍。”之后,卡特雅亚那 (印度学者,《测绳的法则》 的作者之一) 得出了更一般的命题: “以在一个矩形的对角线上的绳索为边所做出的正方形的面积,是以该矩形的相邻两个边为边的两个正方形的面积之和。” 书中没有给出证明,只是描述了一些实际的应用。按法典规定:一个新建的祭坛的大小必须是已有的同样布局的祭坛大小的整数倍。这一强制性的法典表明,几何方法比数值方法更合适。例如,如果要把已知正方形的面积增加一倍,则可以做一个边长为该正方形的对角线长度的正方形。这比计算出新正方形的边长是已知正方形边长的2倍更加简单。虽然印度人已有估算槡2的极好方法,但是由于宗教法规要求绝对精确,估算不能达到要求。 4 y3 _, q3 z0 l* C) T' f7 T; e5 \8 q

中国最早的数学文献是 《周髀算经》,写于公元前 500年—前 200年,基于约 500年前商朝的文献。正如它的名字所显示的那样,它主要论述天文学方面的问题。其中还包括一些算术和几何的初步说明。它完成于周、秦年间的战国时期,可能是由许多游说思想家中的一员按照某位封建君主的提议写成的。当时最著名的思想家是孔子,他的中庸之道的哲学思想,是对动荡不安的时代的反映。

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《周髀算经》的第一节记载了周公 (旦) 和商高两人讨论直角三角形的对话。他们用几何论证的方式陈述了被叫做勾股定理的毕达哥拉斯定理。这里使用了 “出入相补原理”,并以最小的毕达哥拉斯三元数组 (3,4,5) 为例对该方法做了图示。读者一定很清楚其他毕达哥拉斯三元数组,但是毕达哥拉斯定理的一般陈述一直到公元 3世纪才由评注者们给出。刘徽就是这样的一位评注者。他用 “割补”原理给出了毕达哥拉斯定理的第二个几何证明。在该原理中两个小正方形被适当切割,以构成大正方形。这样,我们就可以使用规则:勾2+股2=弦2 (即现代的 a2+b2=c2)进行数值计算。由于毕达哥拉斯定理是求平方根和解二次方程的基础,所以它对于中国数学非常重要。一个叫做 “破竹”的经典问题后来在欧洲的著作中再现,这成为中国数学通过印度和阿拉伯世界传往西方的一个佐证。

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最后我们来看一看传奇人物毕达哥拉斯 (Pythagoras,约公元前 580年—前 500年)。几乎可以确定毕达哥拉斯和释迦牟尼、孔子、大雄、老子及琐罗亚斯德是同一时代的人物。他的数学和神秘主义相结合的思想在公元前 3世纪得到高度发展,形成了新柏拉图主义。只有毕达哥拉斯学派的成员才对他有所了解,而即使是仅隔 200年的亚里士多德也无法为我们提供这个人的清晰描述。毕达哥拉斯及其信徒的贡献,是他们的数学思想体系。毕达哥拉斯的数为万物本源的思想,通过柏拉图、柏罗丁、扬布利科斯及普罗克洛斯等人流传下来,并且为对西方思想影响深远的新柏拉图主义奠定了基础。

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从师于埃及人及迦勒底人之后,毕达哥拉斯定居于今天的意大利南部的克罗托内。在那里创建了毕达哥拉斯学派。这个学派更像是一个秘密结社或教派。学派的研究成果只传授给学派内部的人员。学派成员过着集体生活,有严格的行为准则和道德规范。规范包括灵魂转世的信仰和严格的素食主义。因毕达哥拉斯本人没有著作留下来,我们只能通过推测来判断他本人取得的数学成就。当禁止公开研究成果的教条被废止后,许多学者开展了关于毕达哥拉斯的研究。毕达哥拉斯学派的一个关键的学说认为数是万物,没有数,则任何事物都是无法想象和不可能的。他们最膜拜的数是 10(或四元素图),它是 1,2,3,4四个数的和 1+2+3+4。这四个数是生成宇宙各维空间的生成元的个数。1是无维点,是其他维空间的生成元。两个点相连可以生成一维空间的直线,3个点两两相连构成二维空间的三角形,而 4个点两两相连可以生成三维空间的四面体。四元素图成了毕达哥拉斯学派的象征。他们比以前的所有数字神秘主义者更加热衷于构造这样一个宇宙:在这里,数既具扮演哲学上的角色,又扮演启示性的角色。为了得到高八度的音,我们把琴弦的有效长度缩短到原来的 1/2。从这里出发,毕达哥拉斯学派对音乐进行了数值的分析,并以四元素图表示音符的弦长比例。天体和谐的整体概念就是来自这一音乐的数值理论。这一理论在两千年后还对开普勒的行星模型产生了巨大的影响。

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然而,使毕达哥拉斯扬名的是毕达哥拉斯定理。如上所述,这一定理实际上自古就已为人们所知。人们认为毕达哥拉斯是从埃及人那里学到了这一定理的。而实际上,希腊文献多次提及他们的几何知识来源于埃及。但是不幸的是,我们没有关于毕达哥拉斯定理的相应埃及文献。亚里士多德认为毕达哥拉斯学派首先证明了 2的平方根是无理数。从毕达哥拉斯定理可得到,如果一个等腰直角三角形的直角边的长度为 1,则斜边长度为槡2。按希腊数学的描述,毕达哥拉斯学派试图把直角边为单位长度的直角三角形的斜边与直角边的比,即槡2∶1,表示成整数的比,就像(3,4,5)这样的直角三角形那样。结果却恰恰相反,证明了这个值不能表示成整数的比。这一斜边和单位直角边被称为是不可比的。也就是说,用等刻度直尺不能丈量这个比。由于给定的单位直角边是有理数,所以相应的斜边是无理数。历史学家第欧根尼说,这一事实是毕达哥拉斯学派的成员发现的。他就是 (梅塔蓬图姆的)希帕索斯。毕达哥拉斯学派的其他成员把他带到海上扔进了海里。因为他破坏了毕达哥拉斯学派的信条———即毕达哥拉斯学派的关于所有事物都可以由整数及整数的比来表示。人们现在认为这一传说值得怀疑。但是可公度与不可公度间的关系以及有理数与无理数间的关系,对数学曾起过非常重要的作用。实际上,直到两千年后,人们才使用有理数来定义无理数。 4 y3 _, q3 z0 l* C) T' f7 T; e5 \8 q

希腊人给出了毕达哥拉斯定理的一个巧妙的证明。该证明记载在欧几里得 《几何原本》第 1卷末尾。它的证明方法是非常通用的几何证明方法———使用一系列构造方法,分别把以两个直角边的长度为边长的两个正方形转换成两个长方形,这两个长方形合在一起构成以斜边的长度为边长的正方形。这一证明中没有用到任何数值,而且证明特有的 “风车”图在后来的许多欧亚文明的数学中出现。的确,正如普罗克洛斯所评注的那样: “我在钦佩发现这一定理的发现者的同时,对 《几何原本》的作者更加感到惊奇。”总之,我们仍在使用毕达哥拉斯作为这一定理的名字,而毕达哥拉斯数学宇宙观的魅力永存。几何之父———欧几里得古希腊数学家、几何学奠基人欧几里得一生的细节鲜为人知,无人知道他的出生及去世的日期,甚至他出生何处也无法确定。只知道大约公元前 300年他在埃及的亚历山大当过教师。他的著作 《几何原本》13卷,是世界上最早的公理化数学著作。

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欧几里得的伟大贡献在于他总结整理了前人的生产经验和研究成果,并作了全面的系统阐述,对公理和公设作了适当的选择,然后仔细地将这些定理做了安排,使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致。从公理和公设出发,用演绎法叙述了平面几何、立体几何的许多成果以及大量代数和数论的内容。全书结构科学、严谨,思想家们公认其完整的演绎推理结构是十分杰出的典范。《几何原本》后来被翻译成多种文字,在全世界刊行了上千种不同版本,以后各个时代的思想家、科学家都接受了欧几里得的传统。 《几何原本》 是中国最早翻译的西方自然科学的著作。 i6 N, A/ X5 @0 Z7 f7 x. T9 P4 C5 C( }7 H* y

早在明朝末年,中国著名的科学家徐光启等人曾将前六卷译为汉文,在当时的知识分子之间广为流传。除 《几何原本》 外,欧几里得还著有 《数据》 《图形分割》 《数学的结构》 《光学之书》 ]3 `. u7 p* T. |' |/ f. y, S8 D

《反射光学之书》等。数学力量———阿基米德古希腊数学家和物理学家阿基米德,出生于西西里岛的叙拉古一贵族家庭,自幼勤奋好学,曾到埃及亚历山大跟从欧几里得的学生柯农,学习哲学、数学、天文学、物理学等方面的知识。

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返回叙拉古以后,专事研究。他在继承欧几里得学术的基础上,将数学紧紧地和力学、机械学研究结合在一起,不仅利用力学的方法解决数学问题,而且还用数学方法研究力学和其他实际问题。他著有 《论圆量》和 《论球体与圆锥体》,计算出圆周率的上限为 22/7,下限为 223/71,得出计算球体、圆柱体和其他更复杂球体的体积、表面积和周长的公式。他使用的 “穷竭法”,为现代积分计算奠定了基础。在物理学方面,他是力学和流体力学的奠基人,发现了杠杆原理和后来以阿基米德定律命名的浮力原理;他把理论运用于实践,发明了杠杆、滑轮和螺旋等机械。

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阿基米德将当时的数学和物理学推向了一个新的高度。他是一个热忱的爱国者,当他的祖国遭罗马进攻时,他设计出可以吊起敌舰的巨型回旋起重机和大型投石机,曾重创罗马军。公元前 212年,罗马军统帅在攻陷叙拉古城之后,召请阿基米德,他要求士兵容他做完几何题再去,被一士兵挥剑砍死,时年 75岁。阿基米德对科学事业的伟大贡献是永存的。后世数学家尊他为数学之神,并且认为,任何一张列出有史以来 3位最伟大的数学家的名单中,必定有他,另外两位通常是牛顿和高斯,而且往往把阿基米德置在首位。 2 Y+ \; c- P. g/ \6 [2 B' V5 ?. e; ]3 y

我思故我在的笛卡儿1596年,笛卡儿出生于法国西南部的拉·爱伊城的一个贵族家里。父亲是布列塔尼议会的议员,读过很多书,尤其精通自然科学和哲学。笛卡儿刚生下来特别瘦,两岁的时候,母亲又去世了,小笛卡儿的身体更加孱弱了。父亲十分心疼小笛卡儿,只要有空便陪他玩。笛卡儿稍大一点时,父亲便教他认字,他特别聪明,总是能很快地掌握父亲教给的知识。慢慢地笛卡儿认的字多了,他便开始找书看。父亲的书房里有很多书,小笛卡儿不管理解不理解都拿来看。他对自然科学特别感兴趣,有一次,父亲见他拿着一本很深奥的数学论著在认真地读,感觉很好奇,便问他从书上学到了什么。小笛卡儿高兴地告诉父亲: “爸爸,我发现书上的图形很多,我在看它们到底是怎么回事呢?” 看到小笛卡儿这么爱读书,父亲便买回了许多儿童书籍让他看。不过笛卡儿不太喜欢父亲特意为他买回家的书,他更喜欢大人看的书籍。 i6 N, A/ X5 @0 Z7 f7 x. }7 H*

8岁的时候,笛卡儿该上学了。父亲为他选择了当时欧洲著名的教会学校———拉夫雷士公学校。这所学校教学水平高、纪律严格。由于笛卡儿身体比较差,所以父亲便请求学校对小笛卡儿要特别照顾一些。学校校长特许他不必到学校上早读,但好学上进的笛卡儿却并没有因此而偷懒,他每天都早早起床,利用这一段时间阅读哲学、数学、文学和历史等多方面的课外书籍。正是在这段时间,笛卡儿对数学和哲学产生了浓厚的兴趣。

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笛卡儿在拉夫雷士公学校读了 8年书,他的成绩特别好,1612年以优异的成绩考入了普瓦蒂埃大学攻读法学。在大学里笛卡儿如饥似渴地读书。他每天除了上课就是在图书馆,他对什么都感兴趣,几乎读遍了图书馆的所有书籍。笛卡儿尤其爱看数学和哲学方面的书。他喜欢研究数学,经常为了算一道题而忘记吃饭。大学期间他在数学方面就有了很多自己的见解。1616年,笛卡儿获得了法学博士学位。毕业后他先是到巴黎做了一段律师。

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这期间他认识了巴黎上流社会中许多人,还结交了当时法国不少有名的数学家。笛卡儿经常和这些数学家在一起探讨数学,这段时间里他积累了大量的数学知识。渐渐地,笛卡儿厌倦了巴黎灯红酒绿的生活,于是他辞去了律师职务,躲在巴黎僻静的市郊专心研究数学和哲学。

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1618年,欧洲爆发了战争。1620年笛卡儿参军了。在军队中笛卡儿没有放弃对数学的研究,一有空他便思考数学问题,研究数学几乎成了他生活中最大的乐趣。他经常一边吃饭一边进行数学演算,周围的人都笑他是 “数学痴”。1626年,笛卡儿随军来到荷兰,一天他在街上看到当地政府贴出的一张征求数学难题解法的布告。笛卡儿站着看了一会便将难题解答了出来。于是,他将答案告诉了有关部门,并因此受到了奖励。 4 y3 _, q3 z0 l* C) T' f7 T; e5 \8 q

之后,笛卡儿离开了军队,专心进行数学研究。当时在数学上占主导地位的是欧几里得的几何学和代数学。几何学与代数学还是两个完全独立的学科。笛卡儿想,如果能用直观的几何图表表示出抽象的代数方程,那数学计算就方便多了。于是他决定找出一种能够将几何与代数有机结合起来的工具。他进行了许多探索,做了大量的演算,但一直没有结果。由于总是熬夜进行研究,本来就身体不好的笛卡儿病倒了。这一天,笛卡儿躺在床上养病,他突然看到屋顶角上的一张蜘蛛网,有一只蜘蛛停在网的正中。笛卡儿突然有了灵感,如果将蜘蛛看成一个点,蜘蛛网线看成几何上的线那会怎样呢?笛卡儿顿时来了精神,他忘了自己正在生病,下床就开始演算了起来。就这样在蜘蛛网的启发下,笛卡儿创建了直角坐标系,改变了古希腊以来代数与几何分离的局面,开创了解析几何新时代,为世界近代数学 做 出 了 重 大贡献。

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此外,笛卡儿在物理学、生物学、哲学方面也有许多贡献,他的哲学著作 《方法谈》在世界哲学史上有着深远的影响。

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欧拉的数学生命瑞士数学家里昂纳得·欧拉一生发表论文、专著达 886部,是极富成就、历史上著述最多的数学家。欧拉 13岁入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获得硕士学位,19岁开始发表文章,并获得巴黎科学院奖金。1725年在丹尼尔·伯努利的推荐下他到俄国讲学,任彼得堡科学院院士。1741年赴德国科学院工作了25年后应俄国沙皇礼聘重回彼得堡,直至逝世。 ]3 `. u7 p* T. |' |/ f. y, S8 D

欧拉是 18世纪、也是数学史上最杰出的数学家之一,在几乎所有数学的最重要分支中,都有他开创性的贡献。至今每个数学部门都可以看到欧拉的名字,也经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域,为微分几何及分析学的一些重要分支 (如无穷级数、微分方程等)的产生与发展奠定了基础。他还把数学研究渗透到几乎整个物理领域。 4 y3 _, q3 z0 l* C) T' d5 l,; e5 \8 q

欧拉 28岁时因工作过度致使右眼失明。年近 60岁时另一只眼睛也逐渐失明。双目失明并没有使他停止研究和创作,他口述自己的研究让别人替他记录,凭借惊人的记忆力和想象力,顽强而艰苦地进行探索,直到他生命的最后一刻还在计算天王星的轨道。他留给后人丰富的科学遗产,被科学史学家们列为人类有史以来贡献最大的四位数学家 (阿基米德、牛顿、欧拉、高斯) 之一。他的书通俗易懂,很多数学家就是被他的书所吸引,走上数学之路的。 ]3 `. u7 p* T. |' |/ f. y, S8 D

1+2+3+… +100=?高斯的奇迹数学老师上课时出了一道算术题:1+2+3+… +100=?老师刚把算题写完,一个小男孩儿立刻回答:“5050。” 一时让老师惊诧不已。这个 10岁男孩儿叫高斯。卡尔·弗里德里希·高斯,德国数学家、物理学家和天文学家,近代数学的奠基人之一,生于德意志不伦瑞克一个贫苦家庭,幼年便表现出极高的数学才能。当时数学界流传一个设想: “正多边形的边数如果是大于 5的质数,这个正多边形就不可能用尺规做出。” 高斯却用尺规做出了正 17边形,立刻轰动了数学界,这年高斯 19岁。哥廷根大学毕业后,他因证明代数基本定理获赫尔姆施泰特大学数学博士学位,并长期担任哥廷根大学教授兼任哥廷根天文学台台长。

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高斯的数学成就遍及各个领域。早期研究数论,成果收入在《算术研究》 中。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有开创性贡献。他的曲面论是近代微分几何的开端,并奠定了这一学科发展的基本方向。高斯才华横溢,不仅在数学方面成就显著,在物理学、天文学、测地学方面也有显赫贡献。他与德国物理学家韦伯一道建立了电磁学中的高斯单位制,用自己的行星轨道计算法和最小二乘法,算出各行星的轨道,并在晚年写出 《天体运动论》。 本文来自半壁江图书频道

高斯的成就深刻地影响了当时的学术界。因为他在数学方面的成就卓著实在无人匹敌,所以在数学界被誉为 “数学王子” 和“数学巨人”;人们用他的名字来命名磁感应强度的单位;为纪念他,他的出生地被改名为高斯堡,在柏林、哥廷根都建有他的纪念碑。 copyright Banbijiang

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